碉堡了，美國小學(xué)三年級數(shù)學(xué)題

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? ? ? ?這是少年商學(xué)院微信（ID：youthMBA）的第211篇分享文章，作者是我們的老朋友、美國邁阿密大學(xué)亞洲和亞美研究主任黃全愈，他也是YouthMBA項目開發(fā)顧問。

? ? ? ?女兒放學(xué)拿回了她們每天數(shù)學(xué)課上討論的練習(xí)題。看過后我真的是無語了：一天幾乎就一道題啊，而且這樣的題如果翻譯過來給國內(nèi)的孩子們做，不要說小學(xué)三年級的學(xué)生了，就是幼兒園三歲的學(xué)生恐怕也難不倒吧！一起來欣賞欣賞。

? ? ? ?第一張是星期一至星期三的：

? ? ? ?這一張是星期四和星期五的：

? ? ? ?10以內(nèi)加減法從一年級就開始學(xué)了，沒想到三年級了還要繼續(xù)鞏固。記得去年在北京西單的圖書大廈，我想給女兒買10以內(nèi)加減法的練習(xí)冊， 好讓她早點過關(guān)，結(jié)果我看到的都是諸如“幼兒20以內(nèi)加減法”, “一年級100以內(nèi)加減法”, 根本就沒有10以內(nèi)加減法的書！

? ? ? ?是女兒上的公立學(xué)校太差嗎? 她的學(xué)校在州里可是排在前五名的。如果說這個學(xué)校太差的話, 那其它五名以后的學(xué)校得是什么樣子啊。 也許你會說：“美國搞的是素質(zhì)教育，培養(yǎng)的是創(chuàng)造力?！?strong>但創(chuàng)造也得有些知識基礎(chǔ)吧，再說素質(zhì)教育也不意味著三年級了還要和10以內(nèi)加減法較勁啊。

? ? ? ?YouthMBA學(xué)院君 注：如果像多數(shù)中國小朋友一樣，一年級就熟練100以內(nèi)的加減法，到了美國上小學(xué)，會發(fā)生什么情況？請看下文：

By 黃全愈

? ? ? ?一些在美國讀書的中國孩子在美國中小學(xué)“玩算術(shù)”是出了名的。

? ? ? ?我兒子礦礦在同班的美國小朋友還只會掰手指算簡單加減時，已經(jīng)會多位數(shù)乘除法了。老師問：4＋3＝？大家還沒反應(yīng)過來，他就回答道：3＋4＝21÷3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。在我眼里，美國小學(xué)數(shù)學(xué)太淺顯，整個一個“磨洋工”。一年級時，我借來六年級的數(shù)學(xué)課本，礦礦一樣應(yīng)付自如。第一學(xué)期結(jié)束后，我們向?qū)W校提出來，能不能讓礦礦插班到三年級上數(shù)學(xué)？我心里想：只要求上三年級，已經(jīng)很謙虛了。

? ? ? ?不久，我們收到礦礦老師的來信（節(jié)錄）：

• 關(guān)于礦礦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，我已和校長羅伯特博士說過了。她也跟學(xué)區(qū)主管教學(xué)和課程的助理督導(dǎo)邁克威廉斯博士談過了……
• 附上一年級數(shù)學(xué)課15個單 元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)……我們更強調(diào)的是孩子對那些隱藏在數(shù)字后面的概念的理解，從而在口頭上和書寫中能夠使用他們所學(xué)的東西進行交流；而不是對算術(shù)法 則的死記硬背。我們的目標(biāo)是培養(yǎng)孩子成為解決問題的能手，讓他們學(xué)會思考，把自信建立在自己的能力之上，從而去珍視數(shù)學(xué)。我們的課程是讓孩子積極參與到學(xué)習(xí) 中，通過循序漸進的、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動去學(xué)習(xí)具體的操作計算。礦礦在中國學(xué)校學(xué)到的一些算術(shù)技巧，例如乘法和除法，對美國一年級小學(xué)生來說，不是循序漸進 的、適當(dāng)?shù)幕顒?。我們運用的是絕對具有乘除法功能的組合法教學(xué)，從而使孩子們在記住計算法則之前已能理解乘除法的實際意義。
• 礦礦當(dāng)然是一個具有計算技巧的優(yōu)秀學(xué)生，然而，算術(shù)僅僅是整個數(shù)學(xué)課程中的一個部分。我們在數(shù)學(xué)課里，會運 用許多教學(xué)活動來挑戰(zhàn)礦礦的思維，從而也對他本身形成一種挑戰(zhàn)。
• 我們覺得：派一個Miami大學(xué)的在校生一對一地幫礦礦，將比到三年級上數(shù)學(xué)更適當(dāng)。如果你們想借三年級的數(shù)學(xué)教材在家里使用，我們將樂意作出安排……

? ? ? ?當(dāng)時讀這封信，很不服氣。13年后，重讀此信，卻多了一份思考：

? ? ? ?這封信非常講究遣詞造句．比如，在講到礦礦及中國學(xué)校時，她始終用“算術(shù)”這個概念，而說到美國學(xué)校時，她都說“數(shù)學(xué)”。

? ? ? ?所謂“算術(shù)”，計算之技術(shù)也，似屬雕蟲小技。數(shù)學(xué)，是關(guān)于數(shù)的學(xué)問，是研究符號和數(shù)字之間的關(guān)系，以及如何用這些符號和數(shù)字來解釋現(xiàn)實中與之有關(guān)現(xiàn)象的學(xué)問。因此數(shù)學(xué)是學(xué)術(shù)極品。

? ? ? ?到底美國小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是“磨洋工”抑或我們把數(shù)學(xué)這門大學(xué)問當(dāng)成了計算的技巧呢？

? ? ? ?我在潛心研究美國天賦教育時，終于有了感悟。比如，《雞兔同籠》：籠里有5個頭和14只腳，一共幾只兔幾只雞？在許多人眼里這完全是個計算問題。設(shè)兔為x，雞為y，則x＋y＝5；4x＋2y＝14.到底我們該把它看作算術(shù)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)教學(xué)？讓我們來看美國的天賦教育是怎樣處理類似問題的：

? ? ? ?某個住在湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨子．某天，老人看到5個頭，14只腳。那么老人看到的是多少條狗？多少只鴨子？老師問：“能不能找到解決問題的方法？同學(xué)們紛紛要求回答問題．學(xué)生A：“要找到答案并不難，只要兩個公式，一個解決腳的問題，另一個解決頭的問題……”

? ? ? ?老師制止學(xué)生A繼續(xù)往下講，說道：“很好！誰來設(shè)計這兩個公式？”學(xué)生B：“設(shè)狗有x條，設(shè)鴨子有y只，則4x＋2y＝14?！睂W(xué)生C說道：“x＋y＝5?！崩蠋焼柕溃骸斑@兩個公式對不對？”

? ? ? ?學(xué)生七嘴八舌：“對啦！對啦！”老師：“現(xiàn)在我們不要去計算答案。我們按照這兩個公式來推理，看看答案是否合理……”

? ? ? ?大家你望著我，我望著你：不讓計算，卻去猜答案，老師的葫蘆里賣的什么藥？老師：“犯愁了？不錯！我們現(xiàn)在不打算去計算準(zhǔn)確的答案，我們只是去猜測大致的答案?！?/p>

? ? ? ?學(xué)生仍然丈二和尚摸不著頭腦……老師：“既然你們不回答，那我就來問你們，5條狗和4只鴨，對不對？”學(xué)生轟然：“不對！5條狗和4只鴨，一共是9個頭，老人只看到5個頭。”老師：“那么，誰能告訴我狗腳和鴨腳的數(shù)目？”學(xué)生們又是你望著我，我望著你，不知所措……老師：“如果我告訴你們，狗不少于4條，你們認為怎么樣？”學(xué)生B：“不對，請看看我設(shè)計的公式，腳的總數(shù)是14，而4條狗就有16只腳，除非老人喝醉看花了眼！”下面哄堂大笑！老師：“非常好！那能不能是3條狗呢？”學(xué)生們陷入思考……學(xué)生C：“那也不對！”老師很感興趣地問：“為什么？”學(xué)生C：“除非有1只鴨子，少了兩只腳。”

? ? ? ?“您看我設(shè)計的公式，總共有5個頭，3條狗有12條腳，要符合5個頭，14條腿的條件，就只剩兩個鴨頭，兩只鴨腳。因此，除非有1只鴨子少了兩只腳……”又是一陣哄堂大笑！老師：“好吧，讓我們假設(shè)所有的狗和鴨子都是進化完整的，沒有缺胳膊少腿的.=。那么，該有多少只鴨子呢？”學(xué)生們再沒有像前面那樣沉默，而是議論紛紛.學(xué)生D：“不管怎么說，前提是不能超過5個頭，14只腳?！崩蠋煟骸叭绻飞儆?條，我們能在鴨子的數(shù)量上做什么文章呢？”

? ? ? ?學(xué)生E：“這就是說，鴨子至少有3只。因為，頭的總數(shù)是5個，狗少于3條，所以鴨子沒有3只以上湊不夠5只?！崩蠋煟骸坝械览?。狗只能少于3條，鴨子不能少于3只.那么，我們應(yīng)該尋找的下一個線索，是什么呢？”學(xué)生們思索……老師：“如果是3只鴨子，鴨腳應(yīng)該是……”學(xué)生們齊答：“6只鴨腳?！崩蠋煛埃篛K，如果是3只鴨子，6只鴨腳，狗的數(shù)目又該怎么算呢？”

? ? ? ?學(xué)生A：“狗不能多于3條，鴨子至少得有3只才能湊夠5個頭.3只鴨子，鴨腳就是6只、于是，狗只能是2條，狗腳……”

? ? ? ?老師高興地大笑：“好！不要往下說了，請大家用公式計算吧。”到了這個地步，再用公式計算，簡直像吃豆腐一樣容易：狗是2條，鴨子是3只。

? ? ? ?學(xué)生B有些不太高興地說：“老師，看到您那么高興，我倒有些費解了。這個2條狗，3只鴨的答案，我們推理來推理去，花了快一節(jié)課的時間。其實，一開始就讓我們拿公式來算，早就該做完了……”老師一個勁兒地點頭：“你提出了一個非常好的問題，甚至超過了‘2條狗，3只鴨’的答案。請大家想一想，為什么我們沒有一開始就用公式來計算，而是花了一節(jié)課的時間來走完整個推理的過程？”學(xué)生E：“我們浪費了不少時間去推論那些不正確的答案?！?/p>

? ? ? ?學(xué)生C：“我不同意‘浪費’的說法。有時候，你不能證實一個答案是錯的，就不能證實另一個答案是對的。”學(xué)生F：“但是，值不值得花那么多時間？”學(xué)生們七嘴八舌，議論紛紛。

? ? ? ?老師會心地笑了：“謝謝大家！數(shù)學(xué)課不是算術(shù)，更不是用一個似懂非懂的公式去計算一個只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你，做什么？怎么做？我們充其量像個計算器。要真正理解為什么這么做是對的？為什么那么做是不對的？問題就不那么簡單了。就像知道點擊電腦的什么地方，電腦會怎么運作一樣，那是電腦操作員的工作.只有理解為什么點擊電腦的這里會產(chǎn)生這個動作？為什么點擊那里會產(chǎn)生那個動作？才能成為電腦程序員.我們要的是通過演繹推理和歸納推理來證實和證偽某些答案，以及在這個過程中培養(yǎng)和鍛煉推理能力……”

? ? ? ?數(shù)學(xué)不僅僅是計算、測量、應(yīng)用公式，其實質(zhì)是一種思維方式，是演繹推理和歸納推理的邏輯思維方式，也是一個充滿變化和新的發(fā)現(xiàn)及發(fā)明的領(lǐng)域、學(xué)數(shù)學(xué)并不一定是目的，而是通過學(xué)數(shù)學(xué)來培養(yǎng)自己的能力；同時，通過學(xué)數(shù)學(xué)來理解和解釋世界各種現(xiàn)象和關(guān)系（這句話等于回答了文初那位抓狂的華人媽媽的問題）。

? ? ? ?數(shù)學(xué)是一種思維方式，是訓(xùn)練思維能力的手段?？稍谥袊丝磥?，許多同學(xué)覺得學(xué)數(shù)學(xué)本身就是目的。更“俗氣”更“直白”些：學(xué)數(shù)學(xué)是為了中考、高考。難怪，許多理科生談“數(shù)”色變，把物理看作“無理”……（YouthMBA學(xué)院君注：黃老師這篇文章在3月份的時候我們已經(jīng)和一些朋友分享過，現(xiàn)在再次分享，仍有意義。）